Outils de dérivation vectorielle

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Outils de dérivation vectorielle Cinématique du solide SMP 3

Sommaire

Dérivation directe ou en coordonnées cartésiennes

Soit un vecteur repéré dans le repère par . La dérivée temporelle de ce vecteur par rapport au repère R s'écrit :

[(d vec V)/(dt)]_R= (dx)/(dt).vec x+ x. [(d vec x)/(dt)]_R + (dy)/(dt).vec y+ y. [(d vec y)/(dt)]_R+(dz)/(dt).vec z+ z. [(d vec z)/(dt)]_R

Les vecteurs vec x, vec y

étant constant au cours du temps dans le repère R, leurs dérivées sont nulles, donc :

[(d vec V)/(dt)]_R= (dx)/(dt).vec x+ (dy)/(dt).vec y+(dz)/(dt).vec z

Pour simplifier l'écriture, on note (d u)/(dt)=dot u

donc :

[(d vec V)/(dt)]_R= dot x.vec x+ dot y.vec y+dot z.vec z

Si le vecteur vec V

n'est par projeté dans R mais dans un autre repère R_1(O,vec x_1,vec y_1, vec z_1)

en mouvement par rapport à R, son expression devient alors vec V= x.vec x_1+y.vec y_1+z.vec z_1

. Les vecteurs vec x_1, vec y_1

n'étant pas forcement constants au cours du temps dans le repère R, leurs dérivées sont non nulles.

Donc il faut:

soit projeter le vecteur dans R. Les calculs deviennent alors assez lourds du fait de l'apparition de fonctions sin et cos à dériver.
soit de calculer et (voir paragraphe suivant)

Dérivation composée - Formule de Bour

Dérivée temporelle d'un vecteur unitaire par rapport à un repère- Cas particulier d'une seule rotation

Soit

la base d'un repère R_1

mobile par rapport à R.

Dans un premier temps, on considère que R_1

est orienté par une seule rotation autour d'un axe de R, par exemple une rotation d'angle psi

autour de

alors :

[(d vec x_1)/(dt)]_R= - dot psi sin psi vec x + dot psi cos psi vec y = dot psi vec y_1 = dot psi vec z^^vec x_1

[(d vec y_1)/(dt)]_R= - dot psi cos psi vec x + dot psi sin psi vec y = -dot psi vec y_1 = dot psi vec z^^vec y_1

et comme

on a :

Généralisation - composition des vitesses de rotation

Soient n bases R_i

définies les unes par rapport aux autres par des vecteurs vitesse de rotation successifs vec Omega_(R_i//R_(i-1))

On peut écrire : vec Omega_(R_n//R_1) = vec Omega_(R_n//R_(n-1))+vec Omega_(R_(n-1)//R_(n-2))+...+vec Omega_(R_2//R_1)

On peut donc généraliser les résultats du paragraphe précédent à un repère R_1

issu de R par un vecteur vitesse de rotation quelconque vec Omega_(R_1//R)

(et non plus seulement confondu avec un axe de R). On obtient alors :

Dérivée temporelle d'un vecteur quelconque par rapport à un repère

Le repère

est défini par rapport au repère R par son vecteur vitesse de rotation vec Omega_(R_1//R)

quelconque.Soit un vecteur vec V

repéré dans le repère R_1(O,vec x_1,vec y_1, vec z_1)

par

La dérivée temporelle de vec V

dans

s'écrit :

[(d vec V)/(dt)]_(R_1)= dot x.vec x_1+ dot y.vec y_1+dot z.vec z_1

Si on cherche sa dérivée temporelle par rapport à R :

[(d vec V)/(dt)]_R= dot x.vec x_1+ dot y.vec y_1+dot z.vec z_1 + x. [(d vec x_1)/(dt)]_R + y. [(d vec y_1)/(dt)]_R+ z. [(d vec z_1)/(dt)]_R

[(d vec V)/(dt)]_R= dot x.vec x_1+ dot y.vec y_1+dot z.vec z_1 + x.vec Omega_(R_1//R)^^vec x_1 +y.vec Omega_(R_1//R)^^vec y_1+z.vec Omega_(R_1//R)^^vec z_1

[(d vec V)/(dt)]_R= dot x.vec x_1+ dot y.vec y_1+dot z.vec z_1 + vec Omega_(R_1//R)^^(x vec x_1+ y.vec y_1+z.vec z_1)

D'où :


Formule de Bour

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